Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no.
Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango.
Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.
Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.
Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones.Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.
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Relaciones y Funciones
Seguramente en el transcurso de tu vida has necesitado relacionar algunos fenómenos para comprenderlos mejor por ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los jugadores de fútbol la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, es decir relaciona 2 cantidades, 2 variables, etc.De manera general se puede definir relación como todo el proceso generado por la correspondencia que existe entre dos conjuntos de objetos y fenómenos.
Una función es la regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con sólo un valor del contradominio, es decir que para cada valor de x le corresponde solo un valor de y. Toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones.
Funciones y relaciones from sitayanis
DEFINICION La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así: { a, b, c, ..., x, y, z} Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,). El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo: El conjunto { a, b, c } también puede escribirse: { a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a } En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo: El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. MEMBRESIA Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo: A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno } El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï . Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B SUBCONJUNTO Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 } En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también. Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë . Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos. UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral). Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 } Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N={ 1, 2, 3, .... } Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión. Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos: { x/x Î N ; x
Operaciones entre conjuntos Idea de conjunto Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto". Ejemplos: a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales. b) El conjunto formado por docentes de una Institución Educativa. c) El conjunto formado por los actuales presidentes regionales del Perú. d) El conjunto formado por las computadoras de una cabina de Internet. Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos. Ejemplos: a) El conjunto constituido por los animales que maman. b) El conjunto de ciudades de la sierra peruana. c) El conjunto de los números naturales menores que 6 y mayores que 5.5 d) El conjunto de de personas mayores de 500 años de edad. Definición tentativa de conjunto Si tomamos todas las ideas anteriores entonces conjunto se define como "la presencia o ausencia de elementos con características semejantes dentro de un contexto real o imaginario". NOTACIONES DE UN CONJUNTO I. A conjuntos se les denotará con letras mayúsculas A, B, C…..y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, c, d,…...para separar los elementos se emplean comas (,) y el punto y coma para separar conjuntos o subconjuntos. Ejemplo: Monografias.com II. El símbolo empleado para expresar que un elemento pertenece a un conjunto es: ( Ejemplo: Monografias.com III. el símbolo utilizado para expresar que un elemento "no pertenece" a un conjunto es: ( Ejemplo: Monografias.com IV. Cuando un conjunto "R" está constituido por varios elementos como por ejemplo: a, e, i, o, u o por subconjuntos: {2}; {3, 4}; los escribimos entre LLAVES "{}". Ejemplo: Monografias.com Determinación de conjuntos 1. Por Extensión Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos) Ejemplos: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………} Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado. Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo. Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto. 2. Por Comprensión Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D. Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Por extensión: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Por comprensión: (una posible respuesta sería) D = {x/"x" es un día de la semana} Se lee: "El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana". Otra posible respuesta sería: "D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana" Ejemplo 2 Por extensión: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………} Por comprensión: (una posible respuesta sería) C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N} Se lee: Leer más: http://www.monografias.com/trabajos82/teoria-conjuntos/teoria-conjuntos.shtml#ixzz2LgOavcey
Sea
DEFINICION La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así: { a, b, c, ..., x, y, z} Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,). El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo: El conjunto { a, b, c } también puede escribirse: { a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a } En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo: El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. MEMBRESIA Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo: A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno } El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï . Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B SUBCONJUNTO Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 } En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también. Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë . Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos. UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral). Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 } Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N={ 1, 2, 3, .... } Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión. Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos: { x/x Î N ; x
Operaciones entre conjuntos Idea de conjunto Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto". Ejemplos: a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales. b) El conjunto formado por docentes de una Institución Educativa. c) El conjunto formado por los actuales presidentes regionales del Perú. d) El conjunto formado por las computadoras de una cabina de Internet. Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos. Ejemplos: a) El conjunto constituido por los animales que maman. b) El conjunto de ciudades de la sierra peruana. c) El conjunto de los números naturales menores que 6 y mayores que 5.5 d) El conjunto de de personas mayores de 500 años de edad. Definición tentativa de conjunto Si tomamos todas las ideas anteriores entonces conjunto se define como "la presencia o ausencia de elementos con características semejantes dentro de un contexto real o imaginario". NOTACIONES DE UN CONJUNTO I. A conjuntos se les denotará con letras mayúsculas A, B, C…..y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, c, d,…...para separar los elementos se emplean comas (,) y el punto y coma para separar conjuntos o subconjuntos. Ejemplo: Monografias.com II. El símbolo empleado para expresar que un elemento pertenece a un conjunto es: ( Ejemplo: Monografias.com III. el símbolo utilizado para expresar que un elemento "no pertenece" a un conjunto es: ( Ejemplo: Monografias.com IV. Cuando un conjunto "R" está constituido por varios elementos como por ejemplo: a, e, i, o, u o por subconjuntos: {2}; {3, 4}; los escribimos entre LLAVES "{}". Ejemplo: Monografias.com Determinación de conjuntos 1. Por Extensión Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos) Ejemplos: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………} Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado. Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo. Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto. 2. Por Comprensión Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D. Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Por extensión: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Por comprensión: (una posible respuesta sería) D = {x/"x" es un día de la semana} Se lee: "El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana". Otra posible respuesta sería: "D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana" Ejemplo 2 Por extensión: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………} Por comprensión: (una posible respuesta sería) C = {x/x = (2n – 1) ^ x(N} Se lee: Leer más: http://www.monografias.com/trabajos82/teoria-conjuntos/teoria-conjuntos.shtml#ixzz2LgOavcey
Conjuntos
| Miércoles |
Sea
, halla las funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.
1. ( f + g ) (x)
2. ( g – f ) ( x )
3. (g-f)(2)
4. (j·f )(x)
5. ( j·f )( -1 )
6. (g/f)(x)
7. (f(j(x))
8. j°f(x))
9. h°(j(x))
Recuperado de http://facultad.bayamon.inter.edu/edavila/PRECALCULO%20%20ARCHIVOS/Operaciones%20con%20funciones.htm.
Videos de mis alumnos
http://youtu.be/yeWt_GcfiWU
Videos de mis alumnos
http://youtu.be/yeWt_GcfiWU
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